BAC Spé Maths 2024 — Métropole Secours
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole Secours 2024. Il couvre 5 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Divers, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On considère ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
Tableau de variations de $f$
Affirmation 1 :
La droite d'équation $y = -2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.
Affirmation 2 :
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{f(x)-5} = +\infty.$$
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x\,e^{-x}$.
Affirmation 3 :
Le point $A\!\left(2\,;\,\dfrac{2}{e^2}\right)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$.
Affirmation 4 :
Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\left]\,-\infty\,;\,2\right[$, on a $g(x) \leqslant x$.
Affirmation 5 :
L'équation $x\ln(x) = 1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $\left]\,0\,;\,+\infty\right[$.