BAC Spé Maths 2024 Asie J1 — Analyse graphique, Calcul intégral et primitives, Dérivation

Exercice

Partie A

On considère une fonction $f$ définie sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$, représentée par la courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous.
La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.

Courbe C et droite tangente T au point A d'abscisse 5/2

Question Q1

Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0\,;\,5\right]$.

Question Q2

Que semble présenter la courbe $\mathcal{C}$ au point A ?

La dérivée $f'$ et la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sont représentées par les courbes ci-dessous.

Courbes C1 et C2 représentant f' et f''

Question Q3

Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente. Ce choix sera justifié.

Question Q4

La courbe $\mathcal{C}_3$ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ d'une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.

Courbe C3 — primitive potentielle de f

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $f$, définie et deux fois dérivable sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$, est définie par
$$f(x) = (4x-2)e^{-x+1}.$$
On notera respectivement $f'$ et $f''$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$.

1. Étude de la fonction $f$

Question Q5a

Montrer que $f'(x) = (-4x+6)e^{-x+1}$.

Question Q5b

Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$. On admet que $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.$$

Question Q5c

Étudier la convexité de la fonction $f$ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $f$.

2. On considère une fonction $F$ définie sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par $F(x) = (ax+b)e^{-x+1}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

Question Q6a

Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$.

Question Q6b

On admet que $F(x) = (-4x-2)e^{-x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$.

En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l'intégrale
$$I = \int_{\frac{3}{2}}^{8} f(x)\,\mathrm{d}x.$$

3. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle. Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{3}{2}\,;\,8\right]$. L'unité de longueur est le mètre.

Profil de la piste de trottinette freestyle — courbe de f sur [3/2 ; 8], point de départ D

Question Q7a

Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ D.

Question Q7b

La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.

Sachant qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de $0{,}8\,\mathrm{m}^2$, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.

BAC Spé Maths 2024 — Asie J1

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