Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2024. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Dérivation et étude de fonctions, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite.
Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$$u_{n+1} = \frac{4}{5 - u_n}.$$
Partie A
Recopier et compléter la fonction Python suivante `suite(n)` qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$.
def suite(n):
u = ...
for i in range(n):
...
return u
L'exécution de suite(2) renvoie 1.3333333333333333.
Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.
À l'aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $(u_n)$.
» suite(2)
1.3333333333333333
» suite(5)
1.0058479532163742
» suite(10)
1.0000057220349845
» suite(20)
1.000000000005457
Partie B
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,5\right[$ par :
$$f(x) = \frac{4}{5 - x}.$$
Ainsi, la suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left]-\infty\,;\,5\right[$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4.$$
Soit $x$ un réel de l'intervalle $\left]-\infty\,;\,5\right[$.
Prouver l'équivalence suivante :
$$f(x) = x \iff x^2 - 5x + 4 = 0.$$
Résoudre $f(x) = x$ dans l'intervalle $\left]-\infty\,;\,5\right[$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente. Déterminer sa limite.
Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?