Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers Suède J1 bis 2024. Il couvre 5 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Affirmation 1 : Soit $(E)$ l'équation différentielle : $y' - 2y = -6x + 1$.
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{2x} - 6x + 1$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$. Cette affirmation est-elle juste ou fausse ?
Affirmation 2 : On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par
$$u_n = 1 + \frac{3}{4} + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{3}{4}\right)^n$$
La suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$. Cette affirmation est-elle juste ou fausse ?
Affirmation 3 : On considère la suite $(u_n)$ définie dans l'affirmation 2.
def suite(k):
S=0
for i in range(k):
S=S+(3/4)**k
return S
L'instruction `suite(50)` ci-dessus, écrite en langage Python, renvoie $u_{50}$. Cette affirmation est-elle juste ou fausse ?
Affirmation 4 : Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = a\ln(x) - 2x.$$
Soit $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.
Il existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$ est parallèle à l'axe des abscisses. Cette affirmation est-elle juste ou fausse ?