Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers Suède J1 bis 2024. Il couvre 4 thèmes : Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes, Suites numériques…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Au cours d'une séance, un joueur de volley-ball s'entraîne à faire des services. La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0{,}85$.
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :
- si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant est égale à $0{,}6$ ;
- si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu'il ne réussisse pas le suivant est égale à $0{,}6$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\overline{R_n}$ l'évènement contraire.
On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.
Représenter la situation par un arbre pondéré.
Démontrer que la probabilité de l'évènement $R_2$ est égale à $0{,}57$.
Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu'il ait raté le premier.
Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.
Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l'arbre pondéré de la question 1).
Calculer l'espérance mathématique $E(Z)$ de la variable aléatoire $Z$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On s'intéresse maintenant au cas général.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$.
Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n}(R_{n+1})$ et $P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}})$.
Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1} = 0{,}2x_n + 0{,}4$.
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_n = x_n - 0{,}5$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.
Déterminer l'expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $(x_n)$.
Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.