BAC Spé Maths 2024 — Centres Étrangers Suède J1 bis
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers Suède J1 bis 2024. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante :
- on se place dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, une unité représentant un mètre ;
- l'avion n° 1 doit relier le point $O$ au point $A(0\,;\,200\,;\,0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de $200\,\mathrm{m/s}$ ;
- l'avion n° 2 doit, quant à lui, relier le point $B(-33\,;\,75\,;\,44)$ au point $C(87\,;\,75\,;\,-116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de $200\,\mathrm{m/s}$.
- au même instant, l'avion n° 1 est au point $O$ et l'avion n° 2 est au point $B$.
Schéma 3D des trajectoires des deux avions
Justifier que l'avion n° 2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l'avion n° 1 à parcourir le segment $[OA]$.
Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.
Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?