Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J2 2024. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]−\infty\,;\,1\right[$ par
$$f(x) = \frac{e^x}{x-1}.$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left]−\infty\,;\,1\right[$.
On appelle $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $1$.
En déduire une interprétation graphique.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]−\infty\,;\,1\right[$, on a
$$f'(x) = \frac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}.$$
Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]−\infty\,;\,1\right[$.
On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]−\infty\,;\,1\right[$, on a
$$f''(x) = \frac{\left(x^2 - 4x + 5\right)e^x}{(x-1)^3}.$$
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]−\infty\,;\,1\right[$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $0$.
En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]−\infty\,;\,1\right[$, on a :
$$e^x \geqslant (-2x-1)(x-1).$$
Justifier que l'équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left]−\infty\,;\,1\right[$.
À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.