Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J2 2024. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Le cube $ABCDEFGH$ a pour arête $1\,\mathrm{cm}$.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et le point $J$ est le milieu du segment $[CG]$.
Cube ABCDEFGH avec points I (milieu de [AB]) et J (milieu de [CG])
On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$.
Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
Montrer que le vecteur $\overrightarrow{EJ}$ est normal au plan $(FHI)$.
Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est $-2x - 2y + z + 1 = 0$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$.
On note $K$ le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(FHI)$. Calculer ses coordonnées.
Montrer que le volume de la pyramide $EFHI$ est $\dfrac{1}{6}\,\mathrm{cm}^3$.
On pourra utiliser le point $L$, milieu du segment $[EF]$. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point $I$ sur le plan $(EFH)$.
Déduire des deux questions précédentes l'aire du triangle $FHI$.