Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J2 2024. Il couvre 5 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Dérivation et étude de fonctions, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = \sqrt{x+1}.$$
On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.
Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ :
$$f(x) - x = \frac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x+1} + x}.$$
En déduire que sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ l'équation $f(x) = x$ admet pour unique solution :
$$\ell = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$
Partie B
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la Partie A.
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a
$$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.$$
En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
Démontrer que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
On considère le script Python ci-dessous :
from math import *
def seuil(n):
u=5
i=0
ℓ =(1 + sqrt(5))/2
while abs(u-ℓ)>=10**(-n):
u=sqrt(u+1)
i=i+1
return(i)
On rappelle que la commande abs(x) renvoie la valeur absolue de $x$.
Donner la valeur renvoyée par `seuil(2)`.
La valeur renvoyée par `seuil(4)` est $9$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.