BAC Spé Maths 2023 — Asie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2023. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère le cube ABCDEFGH qui est représenté en ANNEXE.
Dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{AB}\,;\,\vec{AD}\,;\,\vec{AE}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées :
$$M\!\left(1\,;\,1\,;\,\frac{3}{4}\right), \quad N\!\left(0\,;\,\frac{1}{2}\,;\,1\right), \quad P\!\left(1\,;\,0\,;\,-\frac{5}{4}\right)$$
Dans cet exercice, on se propose de calculer le volume du tétraèdre FMNP.
Donner les coordonnées des vecteurs $\vec{MN}$ et $\vec{MP}$.
Placer les points M, N et P sur la figure donnée ci-dessous qui sera à rendre avec la copie.
ANNEXE à rendre avec la copie — Cube ABCDEFGH
Justifier que les points M, N et P ne sont pas alignés.
Dès lors les trois points définissent le plan (MNP).
Calculer le produit scalaire $\vec{MN} \cdot \vec{MP}$, puis en déduire la nature du triangle MNP.
Calculer l'aire du triangle MNP.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\-8\\4\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (MNP).
En déduire qu'une équation cartésienne du plan (MNP) est $5x - 8y + 4z = 0$.
On rappelle que le point F a pour coordonnées $F(1\,;\,0\,;\,1)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ orthogonale au plan (MNP) et passant par le point F.
On note L le projeté orthogonal du point F sur le plan (MNP).
Montrer que les coordonnées du point L sont : $L\!\left(\dfrac{4}{7}\,;\,\dfrac{24}{35}\,;\,\dfrac{23}{35}\right)$.
Montrer que $FL = \dfrac{3\sqrt{105}}{35}$ puis calculer le volume du tétraèdre FMNP.
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :
$$V = \frac{1}{3} \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur associée à cette base.}$$