BAC Spé Maths 2023 Asie J2 — Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie

Exercice

EXERCICE 1 (5 points)

Partie A

On considère deux cubes ABCDEFGH et BKLCFJMG positionnés comme sur la figure suivante :

Figure des deux cubes ABCDEFGH et BKLCFJMG avec le point I milieu de [EF]

Le point I est le milieu de $[EF]$.

Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\, \vec{AB}\,;\, \vec{AD}\,;\, \vec{AE}\right)$.

Ainsi, par exemple, les points F, G et J ont pour coordonnées
$$F(1\,;\,0\,;\,1), \quad G(1\,;\,1\,;\,1) \quad \text{et} \quad J(2\,;\,0\,;\,1).$$

Question Q1

Montrer que le volume du tétraèdre FIGB est égal à $\dfrac{1}{12}$ d'unité de volume.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :
$$V = \frac{1}{3} \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante.}$$

Question Q2

Déterminer les coordonnées du point I.

Question Q3

Montrer que le vecteur $\vec{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BIG)$.

Question Q4

Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est $2x - y + z - 2 = 0$.

Question Q5

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à $(BIG)$ et passant par $F$.

Question Q6a

La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L'$.

Montrer que les coordonnées du point $L'$ sont $\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{6}\,;\,\dfrac{5}{6}\right)$.

Question Q6b

Calculer la longueur $FL'$.

Question Q6c

Déduire des questions précédentes l'aire du triangle $IGB$.

BAC Spé Maths 2023 — Asie J2

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