Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J1 2023. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.
Par ailleurs, un client peut prendre l'option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu'il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.
On sait que :
- 60 % des clients choisissent un bateau à voile ; parmi eux, 20 % prennent l'option PILOTE.
- 42 % des clients prennent l'option PILOTE.
On choisit au hasard un client et on considère les évènements :
- $V$ : « le client choisit un bateau à voile » ;
- $L$ : « le client prend l'option PILOTE ».
Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante
Partie A
Traduire la situation par un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à mesure.
Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu'il ne prenne pas l'option PILOTE.
Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu'il prenne l'option PILOTE est égale à $0{,}30$.
En déduire $P_{\overline{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n'est pas réalisé.
Un client a pris l'option PILOTE.
Quelle est la probabilité qu'il ait choisi un bateau à voile ? Arrondir à $0{,}01$ près.
Partie B
Lorsqu'un client ne prend pas l'option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0{,}12$. Cette probabilité n'est que de $0{,}005$ si le client prend l'option PILOTE.
On considère un client. On note $A$ l'évènement : « son bateau subit une avarie ».
Déterminer $P(L \cap A)$ et $P\left(\overline{L} \cap A\right)$.
L'entreprise loue $1\,000$ bateaux.
À combien d'avaries peut-elle s'attendre ?
Partie C
On rappelle que la probabilité qu'un client donné prenne l'option PILOTE est égale à $0{,}42$.
On considère un échantillon aléatoire de 40 clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l'échantillon prenant l'option PILOTE.
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner sans justification ses paramètres.
Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'au moins 15 clients prennent l'option PILOTE.