Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Limites de fonctions, Python, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la suite $(u_n)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = \frac{-u_n - 4}{u_n + 3}.$$
On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.
Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
On considère la fonction `terme` ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :
def terme(n):
u = ...
for i in range(n):
u = ...
return(u)
On rappelle qu'en langage Python, « `i in range(n)` » signifie que $i$ varie de $0$ à $n-1$.
Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l'instruction `terme(n)` renvoie la valeur de $u_n$.
Soit la fonction $f$ définie sur $\left]−3\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = \frac{-x - 4}{x + 3}.$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f(u_n)$.
Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]−3\,;\,+\infty\right[$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
$$-2 < u_{n+1} \leqslant u_n.$$
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Donner $v_0$.
Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$v_n = \frac{1}{u_n + 2}.$$
Démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $1$.
En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
$$u_n = \frac{1}{n + 0{,}5} - 2.$$
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.