Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J1 2023. Il couvre 5 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points
$$A(-1\,;\,-3\,;\,2),\quad B(3\,;\,-2\,;\,6)\quad \text{et}\quad C(1\,;\,2\,;\,-4).$$
Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l'on notera $\mathscr{P}$.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathscr{P}$.
Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $13x - 16y - 9z - 17 = 0$.
On note $\mathscr{D}$ la droite passant par le point $F(15\,;\,-16\,;\,-8)$ et orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$.
On appelle $E$ le point d'intersection de la droite $\mathscr{D}$ et du plan $\mathscr{P}$.
Démontrer que le point $E$ a pour coordonnées $(2\,;\,0\,;\,1)$.
Déterminer la valeur exacte de la distance du point $F$ au plan $\mathscr{P}$.
Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $\mathscr{D}$ dont la distance au plan $\mathscr{P}$ est égale à la moitié de la distance du point $F$ au plan $\mathscr{P}$.