Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 2023. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = x^2 - 8\ln(x)$$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on note $f'$ sa fonction dérivée.
Déterminer $$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$$.
On admet que, pour tout $x > 0$, $f(x) = x^2\left(1 - 8\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right)$.
En déduire la limite : $$\lim_{x \to +\infty} f(x).$$
Montrer que, pour tout réel $x$ de $\left]0\,;\,+\infty\right[$, $f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}$.
Étudier les variations de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et dresser son tableau de variations complet.
On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Démontrer que, sur l'intervalle $\left]0\,;\,2\right]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).
On admet que, sur l'intervalle $\left[2\,;\,+\infty\right[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$).
En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Pour tout nombre réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$g_k(x) = x^2 - 8\ln(x) + k.$$
En s'aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.