Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 2023. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Divers, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.
On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.
Partie A : Première modélisation
Dans cette partie, on admet que, chaque mois :
- 90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
- 130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.
Au cours du premier mois, 300 questions ont été posées.
Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le $n$-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l'aide de la suite $(u_n)$ définie par :
$$u_1 = 3 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n \geqslant 1,\quad u_{n+1} = 0{,}9u_n + 1{,}3.$$
Calculer $u_2$ et $u_3$ et proposer une interprétation dans le contexte de l'exercice.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
$$u_n = 13 - \frac{100}{9} \times 0{,}9^n.$$
En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.
On considère le programme ci-contre, écrit en langage Python.
def seuil(p) :
n=1
u=3
while u<=p :
n=n+1
u=0.9*u+1.3
return n
Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de `seuil(8.5)` et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
Partie B : Une autre modélisation
Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l'aide d'une nouvelle suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par :
$$v_n = 9 - 6 \times e^{-0{,}19 \times (n-1)}.$$
Le terme $v_n$ est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le $n$-ième mois sur la FAQ.
Préciser les valeurs arrondies au centième de $v_1$ et $v_2$.
Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n > 8{,}5$.
Partie C : Comparaison des deux modèles
L'entreprise considère qu'elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ.
Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ? Justifier votre réponse.
En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme ?