Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Vecteurs dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 2
Dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}\right)$ on considère les points :
$$A(1\,;\,1\,;\,-4),\quad B(2\,;\,-1\,;\,-3),\quad C(0\,;\,-1\,;\,-1)\quad\text{et}\quad \Omega(1\,;\,1\,;\,2).$$
Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x + y + z + 2 = 0$.
Justifier que le point $\Omega$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.
Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(ABC)$.
On admet que $\Omega H = 2\sqrt{3}$.
On définit la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ comme l'ensemble de tous les points $M$ de l'espace tels que $\Omega M = 2\sqrt{3}$.
Justifier, sans calcul, que tout point $N$ du plan $(ABC)$, distinct de $H$, n'appartient pas à la sphère $S$.
On dit qu'un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ en un point $K$ lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- $K \in \mathcal{P} \cap S$
- $(\Omega K) \perp \mathcal{P}$
Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + y - z - 6 = 0$ et le point $K$ de coordonnées $K(3\,;\,3\,;\,0)$.
Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
On admet que les plans $(ABC)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.
Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$.