BAC Spé Maths 2023 — Amérique du Sud J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 4
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = \ln\left(1 + e^{-x}\right) + \frac{1}{4}x.$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j}\right)$ du plan.
Partie A
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x) = \dfrac{e^x - 3}{4(e^x + 1)}$.
En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[2\,;\,5\right]$.
Partie B
On admettra que la fonction $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$,
$$f''(x) = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}.$$
On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $\Delta$ et le quadrilatère $MNPQ$ tel que $M$ et $N$ sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$, et $Q$ et $P$ sont les deux points de la droite $\Delta$ d'abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$.
Courbe $\mathcal{C}_f$, tangente $\Delta$ et quadrilatère $MNPQ$
Justifier le signe de $f''(x)$ pour $x \in \mathbb{R}$.
En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $\left[-\alpha\,;\,\alpha\right]$, est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
Montrer que $f(-\alpha) = \ln(e^{-\alpha} + 1) + \dfrac{3}{4}\alpha$.
Démontrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.