BAC Spé Maths 2023 — Centres Étrangers J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \frac{1}{1+e^{-3x}}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
On nomme A le point de coordonnées $\left(0\,;\,\frac{1}{2}\right)$ et B le point de coordonnées $\left(1\,;\,\frac{5}{4}\right)$.
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
Courbe $\mathcal{C}_f$ et tangente $\mathcal{T}$ avec les points A et B
Partie A : lectures graphiques
Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n'est demandée.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$.
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
Partie B : étude de la fonction
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.
Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.
Déterminer la limite en $-\infty$ de la fonction $f$.
Déterminer la valeur exacte de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0{,}99$.
Partie C : Tangente et convexité
Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que $f''$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f''(x) = \frac{9e^{-3x}\left(e^{-3x}-1\right)}{\left(1+e^{-3x}\right)^3}$$
Étudier le signe de la fonction $f''$ sur $\mathbb{R}$.
Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.
Que représente le point A pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
En déduire la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$. Justifier la réponse.