Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2023. Il couvre 4 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Les parties A et B sont indépendantes.
Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.
Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.
Dans une population, ce test donne les résultats suivants :
- Si un individu est allergique, le test est positif dans $97\%$ des cas ;
- Si un individu n'est pas allergique, le test est négatif dans $95{,}7\%$ des cas.
Par ailleurs, $20\%$ des individus de la population concernée présentent un test positif.
On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :
- $A$ l'évènement « l'individu est allergique » ;
- $T$ l'évènement « l'individu présente un test positif ».
On notera $\overline{A}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $A$ et $T$. On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l'évènement $A$ : $x = p(A)$.
Partie A
Reproduire et compléter l'arbre ci-contre décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
Arbre de probabilités décrivant la situation (à compléter)
Démontrer l'égalité : $p(T) = 0{,}927x + 0{,}043$.
En déduire la probabilité que l'individu choisi soit allergique.
Justifier par un calcul l'affirmation suivante : « Si le test d'un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de $80\%$ de chances que cet individu soit allergique ».
Partie B
On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant $150$ habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
On sait que la probabilité qu'un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0{,}08$.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $150$ habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.
Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
Déterminer la probabilité que $20$ personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
Déterminer la probabilité qu'au moins $10\%$ des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques.