BAC Spé Maths 2022 Amérique du Nord J2 — Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Pro

Exercice

Une exposition d'art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur $6\,\mathrm{m}$, de longueur $8\,\mathrm{m}$ et de hauteur $4\,\mathrm{m}$.

Elle est représentée par le parallélépipède rectangle $OBCDEFGH$ où $OB = 6\,\mathrm{m}$, $OD = 8\,\mathrm{m}$ et $OE = 4\,\mathrm{m}$.

On utilise le repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ tel que $\vec{\imath} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$, $\vec{\jmath} = \frac{1}{8}\overrightarrow{OD}$ et $\vec{k} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OE}$.

Représentation du parallélépipède rectangle $OBCDEFGH$ avec le triangle $ART$ et le point $S$

Dans ce repère on a, en particulier $C(6\,;\,8\,;\,0)$, $F(6\,;\,0\,;\,4)$ et $G(6\,;\,8\,;\,4)$.

Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle $ART$ qui a pour sommets $A(6\,;\,0\,;\,2)$, $R(6\,;\,3\,;\,4)$ et $T(3\,;\,0\,;\,4)$. Enfin, $S$ est le point de coordonnées $\left(3\,;\,\frac{5}{2}\,;\,0\right)$.

Question Q1a

Vérifier que le triangle $ART$ est isocèle en $A$.

Question Q1b

Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AR} \cdot \overrightarrow{AT}$.

Question Q1c

En déduire une valeur approchée à $0{,}1$ degré près de l'angle $\widehat{RAT}$.

Question Q2a

Justifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ART)$.

Question Q2b

En déduire une équation cartésienne du plan $(ART)$.

Un rayon laser dirigé vers le triangle $ART$ est émis du plancher à partir du point $S$. On admet que ce rayon est orthogonal au plan $(ART)$.

Question Q3a

Soit $\Delta$ la droite orthogonale au plan $(ART)$ et passant par le point $S$.
Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ :
$$\begin{cases} x = 3+2k \\ y = \dfrac{5}{2}-2k \\ z = 3k \end{cases}, \text{ avec } k \in \mathbb{R}.$$

Question Q3b

Soit $L$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ avec le plan $(ART)$.
Démontrer que $L$ a pour coordonnées $\left(5\,;\,\frac{1}{2}\,;\,3\right)$.

L'artiste installe un rail représenté par le segment $[DK]$ où $K$ est le milieu du segment $[EH]$. Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point $N$ du segment $[DK]$ et il oriente ce second rayon laser vers le point $S$.

Représentation du pavé avec le rail $[DK]$, le point $N$, le point $L$ et les rayons laser $[SL]$ et $[SN]$

Question Q4a

Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$, le point $N$ de coordonnées $(0\,;\,8-4t\,;\,4t)$ est un point du segment $[DK]$.

Question Q4b

Calculer les coordonnées exactes du point $N$ tel que les deux rayons laser représentés par les segments $[SL]$ et $[SN]$ soient perpendiculaires.

BAC Spé Maths 2022 — Amérique du Nord J2

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