Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2022. Il couvre 5 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Fonction logarithme népérien…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = \frac{\ln x}{x}$$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout nombre réel $x \geq 1$, $f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
$$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & 1 & & e & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}$$
Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.
Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.
Montrer que, si $0 \leq k \leq \dfrac{1}{e}$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution sur l'intervalle $\left[1\,;\,e\right]$.
Si $k > \dfrac{1}{e}$, l'équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$? Justifier.
Partie B
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$g(x) = e^{\frac{x}{4}}$$
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = e^{\frac{u_n}{4}} \text{ c'est-à-dire : } u_{n+1} = g(u_n)$$
Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leq u_{n+1} \leq e$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$ et on admet que $\ell$ est solution de l'équation :
$$e^{\frac{x}{4}} = x$$
En déduire que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = \dfrac{1}{4}$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.