Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Madagascar J1 2022. Il couvre 4 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Divers, Fonction logarithme népérien…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15 %.
Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un quart de litre ?
2 heures
8 heures
9 heures
13 heures
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $f(x) = 4\ln(3x)$.
Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a :
$f(2x) = f(x) + \ln(24)$
$f(2x) = f(x) + \ln(16)$
$f(2x) = \ln(2) + f(x)$
$f(2x) = 2f(x)$
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]1\,;\,+\infty\right[$ par :
$$g(x) = \frac{\ln(x)}{x-1}$$
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :
une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,2\right]$ par :
$$h(x) = x^2\left[1+2\ln(x)\right]$$
On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan.
On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,2\right]$.
On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde.
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,2\right]$, on a :
$$h'(x) = 4x(1+\ln(x))$$
Sur l'intervalle $\left[\frac{1}{e}\,;\,2\right]$, la fonction $h$ s'annule :
exactement 0 fois.
exactement 1 fois.
exactement 2 fois.
exactement 3 fois.
Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $\sqrt{e}$ est :
$y = \left(6e^{\frac{1}{2}}\right) \cdot x$
$y = \left(6\sqrt{e}\right) \cdot x + 2e$
$y = 6e^{\frac{x}{2}}$
$y = \left(6e^{\frac{1}{2}}\right) \cdot x - 4e$
Sur l'intervalle $\left]0\,;\,2\right]$, le nombre de points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_h$ est égal à :
$0$
$1$
$2$
$3$
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$$u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3 \quad \text{et} \quad u_0 = 6$$
On peut affirmer que :
la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
la suite $(u_n)$ n'est pas monotone.
la suite $(u_n)$ est constante.