Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Madagascar J1 2022. Il couvre 3 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Vecteurs dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère les points $A(5\,;\,0\,;\,-1)$, $B(1\,;\,4\,;\,-1)$, $C(1\,;\,0\,;\,3)$, $D(5\,;\,4\,;\,3)$ et $E(10\,;\,9\,;\,8)$.
Soit $R$ le milieu du segment $[AB]$.
Calculer les coordonnées du point $R$ ainsi que les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point $R$ et dont $\vec{AB}$ est un vecteur normal. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est :
$$x - y - 1 = 0$$
Démontrer que le point $E$ appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que $EA = EB$.
On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne $x - z - 2 = 0$.
Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
On note $\Delta$ la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
$$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d'équation cartésienne $y + z - 3 = 0$.
Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées.
Si $S$ et $T$ sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $MS = MT$ est un plan, appelé plan médiateur du segment $[ST]$. On admet que les plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments $[AB]$, $[AC]$ et $[AD]$.
Justifier que $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D$.
En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.