BAC Spé Maths 2022 Polynésie J1 Septembre 2022 — Aires et volumes, Distances dans l'espace, Droites et plans

Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 Septembre 2022. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.

Exercice

On considère le cube ABCDEFGH.
On note I le milieu du segment $[EH]$ et on considère le triangle CFI.
L'espace est muni du repère orthonormé $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$ et on admet que le point I a pour coordonnées $\left(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,1\right)$ dans ce repère.

Cube ABCDEFGH avec I milieu de [EH] et le triangle CFI

Question Q1a

Donner sans justifier les coordonnées des points C, F et G.

Question Q1b

Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan (CFI).

Question Q1c

Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (CFI) est : $x + 2y + 2z - 3 = 0$.

Question Q2a

On note $d$ la droite passant par G et orthogonale au plan (CFI).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.

Question Q2b

Démontrer que le point $K\left(\dfrac{7}{9}\,;\,\dfrac{5}{9}\,;\,\dfrac{5}{9}\right)$ est le projeté orthogonal du point G sur le plan (CFI).

Question Q2c

Déduire des questions précédentes que la distance du point G au plan (CFI) est égale à $\dfrac{2}{3}$.

Question Q3a

On considère la pyramide GCFI.

On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule
$$V = \frac{1}{3} \times b \times h,$$
où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.

Démontrer que le volume de la pyramide GCFI est égal à $\dfrac{1}{6}$, exprimé en unité de volume.

Question Q3b

En déduire l'aire du triangle CFI, en unité d'aire.

BAC Spé Maths 2022 — Polynésie J1 Septembre 2022

Corrigé détaillé disponible