Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres étrangers J2 2022. Il couvre 4 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = x\ln(x) + 1$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ ainsi que sa limite en $+\infty$.
On admet que $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et on notera $f'$ sa fonction dérivée.
Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif :
$$f'(x) = 1 + \ln(x)$$
En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. On y fera figurer la valeur exacte de l'extremum de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et les limites.
Justifier que pour tout $x \in \left]0\,;\,1\right[$, $f(x) \in \left]0\,;\,1\right[$.
Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif :
$$f(x) \geqslant x$$
On définit la suite $(u_n)$ par son premier terme $u_0$ élément de l'intervalle $\left]0\,;\,1\right[$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = f(u_n)$$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_n < 1$.
Déduire de la question 3. c. la croissance de la suite $(u_n)$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.