Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2022. Il couvre 3 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Produit scalaire, Vecteurs dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ de l'espace, on considère les points
$$A(-3\,;\,1\,;\,3),\quad B(2\,;\,2\,;\,3),\quad C(1\,;\,7\,;\,-1),\quad D(-4\,;\,6\,;\,-1)\quad \text{et}\quad K(-3\,;\,14\,;\,14).$$
Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}$.
Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
Calculer l'aire du rectangle $ABCD$.
Justifier que les points $A$, $B$ et $D$ définissent un plan.
Montrer que le vecteur $\vec{n}(-2\,;\,10\,;\,13)$ est un vecteur normal au plan $(ABD)$.
En déduire une équation cartésienne du plan $(ABD)$.
Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(ABD)$ et qui passe par le point $K$.
Déterminer les coordonnées du point $I$, projeté orthogonal du point $K$ sur le plan $(ABD)$.
Montrer que la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut $\sqrt{273}$.
Calculer le volume $V$ de la pyramide $KABCD$.
On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule :
$$V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}.$$