Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J2 2022. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = x\ln(x) - x - 2.$$
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On note $f'$ sa dérivée, $f''$ sa dérivée seconde et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
1.
Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a $f'(x) = \ln(x)$.
Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = e$.
Justifier que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$.
2.
Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$.
Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$.
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
4.
Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$. On note $\alpha$ cette solution.
Justifier que le réel $\alpha$ appartient à l'intervalle $\left]4{,}3\,;\,4{,}4\right[$.
En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
5. On considère la fonction `seuil` suivante écrite dans le langage Python :
On rappelle que la fonction `log` du module `math` (que l'on suppose importé) désigne la fonction logarithme népérien $\ln$.
def seuil(pas) :
x=4.3
while x*log(x) - x - 2 < 0:
x=x+pas
return x
Quelle est la valeur renvoyée à l'appel de la fonction `seuil(0.01)` ?
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.