BAC Spé Maths 2022 — Nouvelle-Calédonie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J2 2022. Il couvre 4 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Repérage dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d'une pyramide $EFGHS$.
On a $DC = 6$, $DA = DH = 4$.
Soit les points $I$, $J$ et $K$ tels que
$$\vec{DI} = \frac{1}{6}\vec{DC},\quad \vec{DJ} = \frac{1}{4}\vec{DA},\quad \vec{DK} = \frac{1}{4}\vec{DH}.$$
On note $\vec{\imath} = \vec{DI}$, $\vec{\jmath} = \vec{DJ}$, $\vec{k} = \vec{DK}$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(D\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On admet que le point $S$ a pour coordonnées $(3\,;\,2\,;\,6)$.
Modélisation de la maison par un parallélépipède rectangle surmonté d'une pyramide
Donner, sans justifier, les coordonnées des points $B$, $E$, $F$ et $G$.
Démontrer que le volume de la pyramide $EFGHS$ représente le septième du volume total de la maison.
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :
$$V = \frac{1}{3} \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.$$
3.
Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(EFS)$.
En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est $y + z - 8 = 0$.
4. On installe une antenne sur le toit, représentée par le segment $[PQ]$. On dispose des données suivantes :
- le point $P$ appartient au plan $(EFS)$ ;
- le point $Q$ a pour coordonnées $(2\,;\,3\,;\,5{,}5)$ ;
- la droite $(PQ)$ est dirigée par le vecteur $\vec{k}$.
Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est :
$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 5{,}5 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
En déduire les coordonnées du point $P$.
En déduire la longueur $PQ$ de l'antenne.
5. Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases} x = -4 + 6s \\ y = 7 - 4s \\ z = 2 + 4s \end{cases} \quad (s \in \mathbb{R})$$
Déterminer la position relative des droites $(PQ)$ et $\Delta$.
L'oiseau va-t-il percuter l'antenne représentée par le segment $[PQ]$ ?