BAC Spé Maths 2022 — Amérique du Sud J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J1 2022. Il porte sur les thèmes Dérivation et étude de fonctions et Fonction logarithme népérien. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 3 FONCTIONS, FONCTION LOGARITHME
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$g(x) = 1 + x^2\left[1 - 2\ln(x)\right].$$
La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.
PARTIE A
Justifier que $g(e)$ est strictement négatif.
Justifier que $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty.$$
Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, $g'(x) = -4x\ln(x)$.
Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$.
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
Déduire de ce qui précède le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$.
PARTIE B
On admet que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[1\,;\,\alpha\right]$, $g''(x) = -4[\ln(x)+1]$.
Justifier que la fonction $g$ est concave sur l'intervalle $\left[1\,;\,\alpha\right]$.
Sur la figure ci-contre, $A$ et $B$ sont les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $1$ et $\alpha$.
Courbe $\mathcal{C}$ avec les points $A$ (abscisse $1$) et $B$ (abscisse $\alpha$)
Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$.
En déduire que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[1\,;\,\alpha\right]$,
$$g(x) \geqslant \frac{-2}{\alpha-1}x + \frac{2\alpha}{\alpha-1}.$$