BAC Spé Maths 2022 — Métropole J1 2022
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 2022. Il couvre 4 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 4 (7 points) — Thème : fonctions numériques
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les six questions sont indépendantes
La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1}$ admet pour asymptote la droite d'équation :
$x = -2$
$y = -1$
$y = -2$
$y = 0$
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^{x^2}$. La primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F(0) = 1$ est définie par :
$F(x) = \dfrac{x^2}{2}e^{x^2}$
$F(x) = \dfrac{1}{2}e^{x^2}$
$F(x) = \left(1+2x^2\right)e^{x^2}$
$F(x) = \dfrac{1}{2}e^{x^2}+\dfrac{1}{2}$
On donne ci-contre la représentation graphique $\mathcal{C}_{f'}$ de la fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$. On peut affirmer que la fonction $f$ est :
$\mathcal{C}_{f'}$
concave sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$
convexe sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$
convexe sur $\left[0\,;\,2\right]$
convexe sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$
Parmi les primitives de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3e^{-x^2}+2$ :
toutes sont croissantes sur $\mathbb{R}$
toutes sont décroissantes sur $\mathbb{R}$
certaines sont croissantes sur $\mathbb{R}$ et d'autres décroissantes sur $\mathbb{R}$
toutes sont croissantes sur $\left]-\infty\,;\,0\right]$ et décroissantes sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$
$$\lim_{x \to +\infty} f(x)$$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2+1}$ est égale à :
$\dfrac{2}{3}$
$+\infty$
$-\infty$
$0$
L'équation $e^{2x}+e^x-12=0$ admet dans $\mathbb{R}$ :
trois solutions
deux solutions
une seule solution
aucune solution