BAC Spé Maths 2022 — Centres étrangers J1 2022
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres étrangers J1 2022. Il couvre 4 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A :
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$$h(x) = e^x - x$$
Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$.
Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variation.
En déduire que :
si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$ alors $h(a) - h(b) < 0$.
Partie B :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = e^x$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
Dans la suite de l'exercice on s'intéresse à l'écart entre $T$ et $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $0$.
Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de $T$ et $\mathcal{C}_f$ de même abscisse.
On s'intéresse aux points d'abscisse $\dfrac{1}{n}$, avec $n$ entier naturel non nul.
On considère alors la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par :
$$u_n = \exp\!\left(\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{n} - 1$$
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$,
$$u_{n+1} - u_n = h\!\left(\frac{1}{n+1}\right) - h\!\left(\frac{1}{n}\right)$$
où $h$ est la fonction définie à la partie A.
En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à $10^{-9}$ des premiers termes de la suite $(u_n)$.
Valeurs approchées à $10^{-9}$ des premiers termes de la suite $(u_n)$
Donner la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle l'écart entre $T$ et $\mathcal{C}_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$.