Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J2 2022. Il couvre 5 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = x\ln(x) - x + 1.$$
Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de $f$ ?
$\ln(x)$
$\dfrac{1}{x} - 1$
$\ln(x) - 2$
$\ln(x) - 1$
On considère la fonction $g$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $g(x) = x^2\left[1 - \ln(x)\right]$.
Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
$$\lim_{x \to 0} g(x) = +\infty$$
$$\lim_{x \to 0} g(x) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0} g(x) = 0$$
La fonction $g$ n'admet pas de limite en $0$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 0{,}9x^2 - 0{,}1x$. Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$ est :
$0$
$1$
$2$
$3$
Si $H$ est une primitive d'une fonction $h$ définie et continue sur $\mathbb{R}$, et si $k$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = h(2x)$, alors, une primitive $K$ de $k$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
$K(x) = H(2x)$
$K(x) = 2H(2x)$
$K(x) = \dfrac{1}{2}H(2x)$
$K(x) = 2H(x)$
L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse $1$ de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^x$ est :
$y = ex + e$
$y = 2ex - e$
$y = 2ex + e$
$y = ex$
Les nombres entiers $n$ solutions de l'inéquation $(0{,}2)^n < 0{,}001$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que :
$n \leqslant 4$
$n \leqslant 5$
$n \geqslant 4$
$n \geqslant 5$