Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J2 2022. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Dérivation et étude de fonctions, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Au début de l'année 2021, une colonie d'oiseaux comptait 40 individus. L'observation conduit à modéliser l'évolution de la population par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$\begin{cases} u_0 = 40 \\ u_{n+1} = 0{,}008\,u_n(200 - u_n) \end{cases}$$
où $u_n$ désigne le nombre d'individus au début de l'année $(2021 + n)$.
Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d'oiseaux dans la colonie au début de l'année 2022.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,100\right]$ par $f(x) = 0{,}008x(200 - x)$.
Résoudre dans l'intervalle $\left[0\,;\,100\right]$ l'équation $f(x) = x$.
Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,100\right]$ et dresser son tableau de variations.
En remarquant que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :
$$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 100.$$
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On considère l'algorithme suivant :
def seuil(p) :
n=0
u = 40
while u < p :
n = n+1
u = 0.008*u*(200-u)
return(n+2021)
L'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l'aide de la question 3.