Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2022. Il couvre 3 thèmes : Limites de fonctions, Python, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$
$$u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n}$$
Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
Recopier le script python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que `liste(k)` prenne en paramètre un entier naturel $k$ et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $(u_n)$ de $u_0$ à $u_k$.
def liste(k) :
L = []
u = ...
for i in range(0, k+1) :
L.append(u)
u = ...
return(L)
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est strictement positif.
Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
Déterminer la valeur de sa limite.
Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Démontrer par récurrence la conjecture précédente.