Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2021. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 1 — Commun à tous les candidats
Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$.
Un laboratoire pharmaceutique vient d'élaborer un nouveau test anti-dopage.
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
- si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0{,}98$ (sensibilité du test) ;
- si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0{,}995$ (spécificité du test).
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d'athlétisme.
On note $D$ l'évènement « l'athlète est dopé » et $T$ l'évènement « le test est positif ».
On admet que la probabilité de l'évènement $D$ est égale à $0{,}08$.
Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
Démontrer que $P(T) = 0{,}083$.
Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu'il soit dopé ?
Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l'évènement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à $0{,}95$.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.
Partie B
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est $0{,}103$.
1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l'évènement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0{,}75$ ? Justifier.