BAC Spé Maths 2021 — Amérique du Nord J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2021. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 3 — Commun à tous les candidats
Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante
On considère un cube $ABCDEFGH$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$ et le point $K$ est le milieu du segment $[AE]$.
Cube ABCDEFGH avec les points I, J, K
Les droites $(AI)$ et $(KH)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE}\right)$.
Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
Montrer que les vecteurs $\vec{IJ}$, $\vec{AE}$ et $\vec{AC}$ sont coplanaires.
On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + 3y - 2z + 2 = 0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous :
$$d_1 : \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 8 - 2t \\ z = -2 + 3t \end{cases},\; t \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad d_2 : \begin{cases} x = 4 + t \\ y = 1 + t \\ z = 8 + 2t \end{cases},\; t \in \mathbb{R}.$$
Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.
Montrer que le point $L(4\,;\,0\,;\,3)$ est le projeté orthogonal du point $M(5\,;\,3\,;\,1)$ sur le plan $\mathcal{P}$.