Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2021. Il porte sur les thèmes Algorithmique et programmation Python et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 2 — Commun à tous les candidats
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-\frac{1}{3}\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = \frac{4x}{1+3x}$$
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
Calculer $u_1$.
On admet que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left]-\frac{1}{3}\,;\,+\infty\right[$.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
On appelle $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif $E$, détermine la plus petite valeur $P$ tel que : $1 - u_P < E$.
def seuil(E) :
u = 0.5
n = 0
while ...
u = ...
n = n + 1
return n
Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où $E = 10^{-4}$.
On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :
$$v_n = \frac{u_n}{1-u_n}$$
Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $4$.
En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \dfrac{v_n}{v_n+1}$.
Montrer alors que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$u_n = \frac{1}{1+0{,}25^n}$$
Retrouver par le calcul la limite de la suite $(u_n)$.