Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 2021. Il porte sur le thème Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 3 — Commun à tous les candidats
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1} = \frac{4u_n}{u_n + 4}.$$
1.
La copie d'écran ci-contre présente les valeurs, calculées à l'aide d'un tableur, des termes de la suite $(u_n)$ pour $n$ variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient $\dfrac{4}{u_n}$, (avec, pour les valeurs de $u_n$, affichage de deux chiffres pour les parties décimales).
Valeurs de la suite $(u_n)$ et du quotient $\frac{4}{u_n}$ pour $n$ de 0 à 12
À l'aide de ces valeurs, conjecturer l'expression de $\dfrac{4}{u_n}$ en fonction de $n$.
Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d'en déduire la limite de la suite $(u_n)$ (question 6.).
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 0$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite $(u_n)$ ?
5. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = \dfrac{4}{u_n}$.
Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
Préciser sa raison et son premier terme.
En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
En déduire la limite de la suite $(u_n)$.