BAC Spé Maths 2021 — Métropole J1 Mars 2021
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Mars 2021. Il couvre 4 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Repérage dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
Le point $I$ est le centre du carré ABCD.
On suppose que : $IC = IB = IS = 1$.
Les points $K$, $L$ et $M$ sont les milieux respectifs des arêtes $[SD]$, $[SC]$ et $[SB]$.
Pyramide régulière SABCD
Les droites suivantes ne sont pas coplanaires :
$(DK)$ et $(SD)$
$(AS)$ et $(IC)$
$(AC)$ et $(SB)$
$(LM)$ et $(AD)$
Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $\left(I\,;\,\overrightarrow{IC},\,\overrightarrow{IB},\,\overrightarrow{IS}\right)$.
Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants :
$$I(0\,;\,0\,;\,0)\,;\quad A(-1\,;\,0\,;\,0)\,;\quad B(0\,;\,1\,;\,0)\,;\quad C(1\,;\,0\,;\,0)\,;\quad D(0\,;\,-1\,;\,0)\,;\quad S(0\,;\,0\,;\,1).$$
Les coordonnées du milieu $N$ de $[KL]$ sont :
$\left(\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{4}\right)$
$\left(\dfrac{1}{4}\,;\,-\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$
$\left(-\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$
$\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,1\right)$
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AS}$ sont :
$\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
Une représentation paramétrique de la droite $(AS)$ est :
$\begin{cases} x = -1-t \\ y = t \\ z = -t \end{cases}\quad (t \in \mathbb{R})$
$\begin{cases} x = -1+2t \\ y = 0 \\ z = 1+2t \end{cases}\quad (t \in \mathbb{R})$
$\begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 1+t \end{cases}\quad (t \in \mathbb{R})$
$\begin{cases} x = -1-t \\ y = 1+t \\ z = 1-t \end{cases}\quad (t \in \mathbb{R})$
Une équation cartésienne du plan $(SCB)$ est :
$y + z - 1 = 0$
$x + y + z - 1 = 0$
$x - y + z = 0$
$x + z - 1 = 0$