Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Septembre 2021. Il porte sur le thème Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice A — Principaux domaines abordés : Suites numériques ; raisonnement par récurrence.
On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par :
$$u_0 = 16 \quad ; \quad v_0 = 5 ;$$
et pour tout entier naturel $n$ :
$$\begin{cases} u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} \\[6pt] v_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2} \end{cases}$$
Calculer $u_1$ et $v_1$.
On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = u_n - v_n$.
Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $0{,}1$. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.
Préciser le signe de la suite $(w_n)$ et la limite de cette suite.
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n = -0{,}4\,w_n$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.
On peut démontrer de la même manière que la suite $(v_n)$ est croissante. On admet ce résultat, et on remarque qu'on a alors : pour tout entier naturel $n$, $v_n \geqslant v_0 = 5$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 5$. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On appelle $\ell$ la limite de $(u_n)$.
On peut démontrer de la même manière que la suite $(v_n)$ est convergente. On admet ce résultat, et on appelle $\ell'$ la limite de $(v_n)$.
Démontrer que $\ell = \ell'$.
On considère la suite $(c_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $c_n = 5u_n + 4v_n$. Démontrer que la suite $(c_n)$ est constante, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = c_n$. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $c_n = 100$.
Déterminer la valeur commune des limites $\ell$ et $\ell'$.