BAC Spé Maths 2022 — Métropole J2 2022
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 2022. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 3
On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous. On note $K$ le milieu du segment $[BC]$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\, \vec{AB}\,,\, \vec{AD}\,,\, \vec{AE}\right)$.
On s'intéresse au tétraèdre $EFGK$.
Cube ABCDEFGH
Donner les coordonnées des points $E$, $F$, $G$ et $K$ dans le repère $\left(A\,;\, \vec{AB}\,,\, \vec{AD}\,,\, \vec{AE}\right)$.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(EGK)$.
En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EGK)$ est : $2x - 2y + z - 1 = 0$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(EGK)$ passant par le point $F$.
On admet que le projeté orthogonal $L$ du point $F$ sur le plan $(EGK)$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{9}\,;\, \dfrac{4}{9}\,;\, \dfrac{7}{9}\right)$.
Calculer la distance $LF$.
Justifier que $LF = \dfrac{2}{3}$.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule :
$$V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$$
où $\mathcal{A}_{\text{base}}$ est l'aire d'une face et $h$ la hauteur relative à cette face.
Calculer l'aire du triangle $EFG$, puis en déduire le volume du tétraèdre $EFGK$.
On pourra admettre que ce volume vaut $\dfrac{1}{6}$.
Calculer l'aire du triangle $EGK$.
On note $P$ le milieu de $[EG]$, $M$ le milieu de $[EK]$ et $N$ le milieu de $[GK]$.
Calculer le volume du tétraèdre $FPMN$.