BAC Spé Maths 2025 — Amérique du Nord J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2025. Il couvre 5 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
PARTIE A
ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur $1$.
Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes $[AB]$, $[BF]$, $[AE]$, $[CD]$ et $[DH]$.
Cube ABCDEFGH avec les points I, J, K, L, M milieux des arêtes indiquées
Affirmation 1 : $\overrightarrow{JH} = 2\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{DM} - \overrightarrow{CB}$
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Affirmation 2 : Le triplet de vecteurs $\left(\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AH},\, \overrightarrow{AG}\right)$ est une base de l'espace.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Affirmation 3 : $\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{LM} = -\dfrac{1}{4}$
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
PARTIE B
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :
- le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$
- les points $A(2\,;\,0\,;\,-1)$ et $B(5\,;\,-3\,;\,7)$
Affirmation 4 : Le plan $\mathcal{P}$ et la droite $(AB)$ sont parallèles.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Affirmation 5 : Le plan $\mathcal{P}'$ parallèle à $\mathcal{P}$ passant par $B$ a pour équation cartésienne $-2x + y - 3z + 34 = 0$.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Affirmation 6 : La distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique
$$\begin{cases} x = -12 + 2k \\ y = 6 \\ z = 3 - 5k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}$$
Affirmation 7 : Les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas coplanaires.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?