Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord Secours 2025. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.
Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2\%$ de la population d'un pays. Dans ce pays, $90\%$ de la population a été vaccinée contre ce virus.
On constate que $62\%$ des personnes contaminées avaient été vaccinées.
On interroge au hasard une personne, et on note les évènements suivants :
$C$ : « la personne a été contaminée »
$V$ : « la personne a été vaccinée ».
Les évènements contraires des évènements $C$ et $V$ sont notés respectivement $\overline{C}$ et $\overline{V}$.
À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités $P(C)$, $P(V)$ et la probabilité conditionnelle $P_C(V)$.
Calculer $P(C \cap V)$.
En déduire $P\!\left(\overline{C} \cap V\right)$.
Recopier l'arbre des probabilités ci-dessous et le compléter.
Arbre des probabilités (à compléter)
Calculer $P_V(C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.
a. « Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »
b. « Plus de $98\%$ de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »
On s'intéresse à un échantillon de $20$ personnes choisies au hasard dans la population.
La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées.
On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est $p = 0{,}02$.
Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier et donner ses paramètres.
Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que $4$ personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de $20$ personnes.