Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Produit scalaire…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère :
- $\alpha$ un réel quelconque ;
- les points $A(1\,;\,1\,;\,0)$, $B(2\,;\,1\,;\,0)$ et $C(\alpha\,;\,3\,;\,\alpha)$ ;
- $(d)$ la droite dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases} x = 1+t \\ y = 2t \\ z = -t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.
Affirmation 1 : Pour toutes les valeurs de $\alpha$, les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est $\vec{\jmath} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$.
Affirmation 2 : Il existe exactement une valeur de $\alpha$ telle que les droites $(AC)$ et $(d)$ soient parallèles.
Affirmation 3 : Une mesure de l'angle $\widehat{OAB}$ est $135°$.
Affirmation 4 : Le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$ est le point $H(1\,;\,2\,;\,2)$.
Affirmation 5 : La sphère de centre $O$ et de rayon $1$ rencontre la droite $(d)$ en deux points distincts.
On rappelle que la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance $r$ de $\Omega$.