BAC Spé Maths 2025 — Métropole J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 2025. Il couvre 5 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Divers, Fonction logarithme népérien…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 3
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par
$$u_n = \frac{1 + 5^n}{2 + 3^n}.$$
Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ converge vers $\dfrac{5}{3}$.
2. On considère la suite $(w_n)$ définie par :
$$w_0 = 0 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n,\quad w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3.$$
Affirmation 2 : Pour tout entier naturel $n$, $w_n \geqslant n$.
3. On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (Fig. 1) ci-dessous.
On précise que :
- $T$ est la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $8$ ;
- L'axe des abscisses est la tangente horizontale à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
Fig. 1
Affirmation 3 : D'après le graphique, la fonction $f$ est convexe sur son ensemble de définition.
4.
Affirmation 4 : Pour tout réel $x > 0$, $\ln(x) - x + 1 \leqslant 0$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.