BAC Spé Maths 2025 — Métropole J1 Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2025. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Limites de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 3
Le but de cet exercice est d'étudier les convergences de deux suites vers une même limite.
Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = \sqrt{3x - 2}.$$
Justifier les éléments du tableau de variations ci-dessous :
Tableau de variations de $f(x) = \sqrt{3x-2}$ sur $[2\,;\,+\infty[$
On admet que la suite $(u_n)$ vérifiant $u_0 = 6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1} = f(u_n)$ est bien définie.
Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel : $2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 6$.
En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
On appelle $\ell$ la limite de $(u_n)$.
On admet qu'elle est solution de l'équation $f(x) = x$. Déterminer la valeur de $\ell$.
On considère la fonction `rang` écrite ci-dessous en langage Python.
On rappelle que `sqrt(x)` renvoie la racine carrée du nombre $x$.
from math import *
def rang(a) :
u = 6
n = 0
while u >= a :
u = sqrt(3*u - 2)
n = n+1
return n
Pourquoi peut-on affirmer que `rang(2.000001)` renvoie une valeur ?
Pour quelles valeurs du paramètre $a$ l'instruction `rang(a)` renvoie-t-elle un résultat ?
Partie B
On admet que la suite $(v_n)$ vérifiant $v_0 = 6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $v_{n+1} = 3 - \dfrac{2}{v_n}$ est bien définie.
Calculer $v_1$.
Pour tout $n$ entier naturel, on admet que $v_n \neq 2$ et on pose :
$$w_n = \frac{v_n - 1}{v_n - 2}$$
Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $2$ et préciser son premier terme $w_0$.
On admet que, pour tout $n$ entier naturel,
$$w_n - 1 = \frac{1}{v_n - 2}.$$
En déduire que, pour tout $n$ entier naturel,
$$v_n = 2 + \frac{1}{1{,}25 \times 2^n - 1}$$
Calculer la limite de $(v_n)$.
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $v_n < 2{,}01$ en résolvant l'inéquation.
Partie C
À l'aide des parties précédentes, déterminer le plus petit entier $N$ tel que pour tout $n \geqslant N$, les termes $v_n$ et $u_n$ appartiennent à l'intervalle $\left]1{,}99\,;\,2{,}01\right[$.