BAC Spé Maths 2025 Polynésie J1 — Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de foncti

Exercice

On munit le plan d'un repère orthonormé.
Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f_0(x) = e^{-x} \quad \text{et, pour } n \geqslant 1,\quad f_n(x) = x^n e^{-x}.$$
Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Étude des fonctions $f_n$ pour $n \geqslant 1$

On considère un entier naturel $n \geqslant 1$.

Question Q1a

On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Montrer que pour tout $x \geqslant 0$,
$$f'_n(x) = (n - x)x^{n-1}e^{-x}.$$

Question Q1b

Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous :

Tableau de variations de $f_n$

Question Q2

Justifier par le calcul que le point $A\!\left(1\,;\,e^{-1}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_n$.

Partie B : Étude des intégrales $$\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x$$ pour $n \geqslant 0$

Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_n$ sur $\left[0\,;\,1\right]$ et on considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$I_n = \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 x^n e^{-x}\,\mathrm{d}x.$$

Question Q3

Sur le graphique c-dessous, on a représenté les courbes $\mathcal{C}_0, \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_{10}$ et $\mathcal{C}_{100}$.

$Courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_{10}$ et $\mathcal{C}_{100}$ sur $[0\,;\,1]$$

Courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_{10}$ et $\mathcal{C}_{100}$ sur $[0\,;\,1]$

Donner une interprétation graphique de $I_n$.

Question Q3b

Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(I_n)$ ?

Question Q4

Calculer $I_0$.

Question Q5a

Soit $n$ un entier naturel.
Démontrer que pour tout $x \in \left[0\,;\,1\right]$,
$$0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n.$$

Question Q5b

En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :
$$0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n.$$

Question Q6

Démontrer que la suite $(I_n)$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\ell$.

Question Q7

En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$I_{n+1} = (n+1)I_n - \frac{1}{e}.$$

Question Q8a

Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.

Question Q8b

Démontrer que $\ell = 0$. On pourra utiliser la question 6. a.

On donne ci-dessous le script de la fonction `mystere`, écrite en langage Python.
On a importé la constante `e`.

PYTHON

def mystere(n):
    I = 1 - 1/e
    L = [I]
    for i in range(n):
        I = (i + 1)*I - 1/e
        L.append(I)
    return L

Question Q9

Que renvoie `mystere(100)` dans le contexte de l'exercice ?

BAC Spé Maths 2025 — Polynésie J1

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