Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2025. Il couvre 7 thèmes : Dénombrement et combinatoire, Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.
On considère l'équation différentielle :
$$(E) \quad y' = \frac{1}{2}y + 4.$$
Affirmation 1 : Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = ke^{\frac{1}{2}x} - 8, \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}.$$
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Dans une classe de terminale, il y a 18 filles et 14 garçons.
On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard 3 filles et 3 garçons.
Affirmation 2 : Il y a 297 024 possibilités pour former une telle équipe.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$v_n = \frac{n}{2 + \cos(n)}.$$
Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points $A(1\,;\,1\,;\,2)$, $B(5\,;\,-1\,;\,8)$ et $C(2\,;\,1\,;\,3)$.
Affirmation 4 : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 10$ et une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est 30°.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
On considère une fonction $h$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ dont la dérivée seconde est définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$h''(x) = x\ln x - 3x.$$
Affirmation 5 : La fonction $h$ est convexe sur $\left[e^3\,;\,+\infty\right[$.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?