Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J2 2025. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère les points suivants :
$$A(1\,;\,3\,;\,0),\quad B(-1\,;\,4\,;\,5),\quad C(0\,;\,1\,;\,0)\quad \text{et}\quad D(-2\,;\,2\,;\,1).$$
Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.
Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
Justifier que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne :
$$2x - y + z + 1 = 0.$$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
On appelle H le point de coordonnées $\left(-\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{5}{3}\right)$.
Vérifier que H est le projeté orthogonal du point D sur le plan $(ABC)$.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3} B \times h$, où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est sa hauteur relative à cette base.
Montrer que $DH = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.
En déduire le volume du tétraèdre ABCD.
On considère la droite $d$ de représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k \end{cases} \quad \text{où } k \text{ décrit } \mathbb{R}.$$
La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?